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n 皇后问题

Question

根据国际象棋的规则,皇后可以攻击与同处一行、一列或一条斜线上的棋子。给定 \(n\) 个皇后和一个 \(n \times n\) 大小的棋盘,寻找使得所有皇后之间无法相互攻击的摆放方案。

如下图所示,当 \(n = 4\) 时,共可以找到两个解。从回溯算法的角度看,\(n \times n\) 大小的棋盘共有 \(n^2\) 个格子,给出了所有的选择 choices 。在逐个放置皇后的过程中,棋盘状态在不断地变化,每个时刻的棋盘就是状态 state

4 皇后问题的解

下图展示了本题的三个约束条件:多个皇后不能在同一行、同一列、同一条对角线上。值得注意的是,对角线分为主对角线 \ 和次对角线 / 两种。

n 皇后问题的约束条件

逐行放置策略

皇后的数量和棋盘的行数都为 \(n\) ,因此我们容易得到一个推论:棋盘每行都允许且只允许放置一个皇后

也就是说,我们可以采取逐行放置策略:从第一行开始,在每行放置一个皇后,直至最后一行结束。

下图所示为 4 皇后问题的逐行放置过程。受画幅限制,下图仅展开了第一行的其中一个搜索分支,并且将不满足列约束和对角线约束的方案都进行了剪枝。

逐行放置策略

从本质上看,逐行放置策略起到了剪枝的作用,它避免了同一行出现多个皇后的所有搜索分支。

列与对角线剪枝

为了满足列约束,我们可以利用一个长度为 \(n\) 的布尔型数组 cols 记录每一列是否有皇后。在每次决定放置前,我们通过 cols 将已有皇后的列进行剪枝,并在回溯中动态更新 cols 的状态。

Tip

请注意,矩阵的起点位于左上角,其中行索引从上到下增加,列索引从左到右增加。

那么,如何处理对角线约束呢?设棋盘中某个格子的行列索引为 \((row, col)\) ,选定矩阵中的某条主对角线,我们发现该对角线上所有格子的行索引减列索引都相等,即主对角线上所有格子的 \(row - col\) 为恒定值

也就是说,如果两个格子满足 \(row_1 - col_1 = row_2 - col_2\) ,则它们一定处在同一条主对角线上。利用该规律,我们可以借助下图所示的数组 diags1 记录每条主对角线上是否有皇后。

同理,次对角线上的所有格子的 \(row + col\) 是恒定值。我们同样也可以借助数组 diags2 来处理次对角线约束。

处理列约束和对角线约束

代码实现

请注意,\(n\) 维方阵中 \(row - col\) 的范围是 \([-n + 1, n - 1]\)\(row + col\) 的范围是 \([0, 2n - 2]\) ,所以主对角线和次对角线的数量都为 \(2n - 1\) ,即数组 diags1diags2 的长度都为 \(2n - 1\)

[file]{n_queens}-[class]{}-[func]{n_queens}

逐行放置 \(n\) 次,考虑列约束,则从第一行到最后一行分别有 \(n\)\(n-1\)\(\dots\)\(2\)\(1\) 个选择,使用 \(O(n!)\) 时间。当记录解时,需要复制矩阵 state 并添加进 res ,复制操作使用 \(O(n^2)\) 时间。因此,总体时间复杂度为 \(O(n! \cdot n^2)\) 。实际上,根据对角线约束的剪枝也能够大幅缩小搜索空间,因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。

数组 state 使用 \(O(n^2)\) 空间,数组 colsdiags1diags2 皆使用 \(O(n)\) 空间。最大递归深度为 \(n\) ,使用 \(O(n)\) 栈帧空间。因此,空间复杂度为 \(O(n^2)\)