构建二叉树问题

Question

给定一棵二叉树的前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder ，请从中构建二叉树，返回二叉树的根节点。假设二叉树中没有值重复的节点（如下图所示）。

判断是否为分治问题

原问题定义为从 preorder 和 inorder 构建二叉树，是一个典型的分治问题。

• 问题可以分解：从分治的角度切入，我们可以将原问题划分为两个子问题：构建左子树、构建右子树，加上一步操作：初始化根节点。而对于每棵子树（子问题），我们仍然可以复用以上划分方法，将其划分为更小的子树（子问题），直至达到最小子问题（空子树）时终止。
• 子问题是独立的：左子树和右子树是相互独立的，它们之间没有交集。在构建左子树时，我们只需关注中序遍历和前序遍历中与左子树对应的部分。右子树同理。
• 子问题的解可以合并：一旦得到了左子树和右子树（子问题的解），我们就可以将它们链接到根节点上，得到原问题的解。

如何划分子树

根据以上分析，这道题可以使用分治来求解，但如何通过前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder 来划分左子树和右子树呢？

根据定义，preorder 和 inorder 都可以划分为三个部分。

• 前序遍历：[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ] ，例如上图的树对应 [ 3 | 9 | 2 1 7 ] 。
• 中序遍历：[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ] ，例如上图的树对应 [ 9 | 3 | 1 2 7 ] 。

以上图数据为例，我们可以通过下图所示的步骤得到划分结果。

1. 前序遍历的首元素 3 是根节点的值。
2. 查找根节点 3 在 inorder 中的索引，利用该索引可将 inorder 划分为 [ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ] 。
3. 根据 inorder 的划分结果，易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ，从而可将 preorder 划分为 [ 3 | 9 | 2 1 7 ] 。

基于变量描述子树区间

根据以上划分方法，我们已经得到根节点、左子树、右子树在 preorder 和 inorder 中的索引区间。而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量。

• 将当前树的根节点在 preorder 中的索引记为 \(i\) 。
• 将当前树的根节点在 inorder 中的索引记为 \(m\) 。
• 将当前树在 inorder 中的索引区间记为 \([l, r]\) 。

如下表所示，通过以上变量即可表示根节点在 preorder 中的索引，以及子树在 inorder 中的索引区间。

表   根节点和子树在前序遍历和中序遍历中的索引

	根节点在 preorder 中的索引	子树在 inorder 中的索引区间
当前树	\(i\)	\([l, r]\)
左子树	\(i + 1\)	\([l, m-1]\)
右子树	\(i + 1 + (m - l)\)	\([m+1, r]\)

请注意，右子树根节点索引中的 \((m-l)\) 的含义是“左子树的节点数量”，建议结合下图理解。

代码实现

为了提升查询 \(m\) 的效率，我们借助一个哈希表 hmap 来存储数组 inorder 中元素到索引的映射：

[file]{build_tree}-[class]{}-[func]{build_tree}

下图展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边（引用）是在向上“归”的过程中建立的。

<1><2><3><4><5><6><7><8><9>

每个递归函数内的前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder 的划分结果如下图所示。

设树的节点数量为 \(n\) ，初始化每一个节点（执行一个递归函数 dfs() ）使用 \(O(1)\) 时间。因此总体时间复杂度为 \(O(n)\) 。

哈希表存储 inorder 元素到索引的映射，空间复杂度为 \(O(n)\) 。在最差情况下，即二叉树退化为链表时，递归深度达到 \(n\) ，使用 \(O(n)\) 的栈帧空间。因此总体空间复杂度为 \(O(n)\) 。