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初探动态规划

动态规划(dynamic programming)是一个重要的算法范式,它将一个问题分解为一系列更小的子问题,并通过存储子问题的解来避免重复计算,从而大幅提升时间效率。

在本节中,我们从一个经典例题入手,先给出它的暴力回溯解法,观察其中包含的重叠子问题,再逐步导出更高效的动态规划解法。

爬楼梯

给定一个共有 \(n\) 阶的楼梯,你每步可以上 \(1\) 阶或者 \(2\) 阶,请问有多少种方案可以爬到楼顶?

如下图所示,对于一个 \(3\) 阶楼梯,共有 \(3\) 种方案可以爬到楼顶。

爬到第 3 阶的方案数量

本题的目标是求解方案数量,我们可以考虑通过回溯来穷举所有可能性。具体来说,将爬楼梯想象为一个多轮选择的过程:从地面出发,每轮选择上 \(1\) 阶或 \(2\) 阶,每当到达楼梯顶部时就将方案数量加 \(1\) ,当越过楼梯顶部时就将其剪枝。代码如下所示:

[file]{climbing_stairs_backtrack}-[class]{}-[func]{climbing_stairs_backtrack}

方法一:暴力搜索

回溯算法通常并不显式地对问题进行拆解,而是将求解问题看作一系列决策步骤,通过试探和剪枝,搜索所有可能的解。

我们可以尝试从问题分解的角度分析这道题。设爬到第 \(i\) 阶共有 \(dp[i]\) 种方案,那么 \(dp[i]\) 就是原问题,其子问题包括:

\[ dp[i-1], dp[i-2], \dots, dp[2], dp[1] \]

由于每轮只能上 \(1\) 阶或 \(2\) 阶,因此当我们站在第 \(i\) 阶楼梯上时,上一轮只可能站在第 \(i - 1\) 阶或第 \(i - 2\) 阶上。换句话说,我们只能从第 \(i -1\) 阶或第 \(i - 2\) 阶迈向第 \(i\) 阶。

由此便可得出一个重要推论:爬到第 \(i - 1\) 阶的方案数加上爬到第 \(i - 2\) 阶的方案数就等于爬到第 \(i\) 阶的方案数。公式如下:

\[ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] \]

这意味着在爬楼梯问题中,各个子问题之间存在递推关系,原问题的解可以由子问题的解构建得来。下图展示了该递推关系。

方案数量递推关系

我们可以根据递推公式得到暴力搜索解法。以 \(dp[n]\) 为起始点,递归地将一个较大问题拆解为两个较小问题的和,直至到达最小子问题 \(dp[1]\)\(dp[2]\) 时返回。其中,最小子问题的解是已知的,即 \(dp[1] = 1\)\(dp[2] = 2\) ,表示爬到第 \(1\)\(2\) 阶分别有 \(1\)\(2\) 种方案。

观察以下代码,它和标准回溯代码都属于深度优先搜索,但更加简洁:

[file]{climbing_stairs_dfs}-[class]{}-[func]{climbing_stairs_dfs}

下图展示了暴力搜索形成的递归树。对于问题 \(dp[n]\) ,其递归树的深度为 \(n\) ,时间复杂度为 \(O(2^n)\) 。指数阶属于爆炸式增长,如果我们输入一个比较大的 \(n\) ,则会陷入漫长的等待之中。

爬楼梯对应递归树

观察上图,指数阶的时间复杂度是“重叠子问题”导致的。例如 \(dp[9]\) 被分解为 \(dp[8]\)\(dp[7]\)\(dp[8]\) 被分解为 \(dp[7]\)\(dp[6]\) ,两者都包含子问题 \(dp[7]\)

以此类推,子问题中包含更小的重叠子问题,子子孙孙无穷尽也。绝大部分计算资源都浪费在这些重叠的子问题上。

方法二:记忆化搜索

为了提升算法效率,我们希望所有的重叠子问题都只被计算一次。为此,我们声明一个数组 mem 来记录每个子问题的解,并在搜索过程中将重叠子问题剪枝。

  1. 当首次计算 \(dp[i]\) 时,我们将其记录至 mem[i] ,以便之后使用。
  2. 当再次需要计算 \(dp[i]\) 时,我们便可直接从 mem[i] 中获取结果,从而避免重复计算该子问题。

代码如下所示:

[file]{climbing_stairs_dfs_mem}-[class]{}-[func]{climbing_stairs_dfs_mem}

观察下图,经过记忆化处理后,所有重叠子问题都只需计算一次,时间复杂度优化至 \(O(n)\) ,这是一个巨大的飞跃。

记忆化搜索对应递归树

方法三:动态规划

记忆化搜索是一种“从顶至底”的方法:我们从原问题(根节点)开始,递归地将较大子问题分解为较小子问题,直至解已知的最小子问题(叶节点)。之后,通过回溯逐层收集子问题的解,构建出原问题的解。

与之相反,动态规划是一种“从底至顶”的方法:从最小子问题的解开始,迭代地构建更大子问题的解,直至得到原问题的解。

由于动态规划不包含回溯过程,因此只需使用循环迭代实现,无须使用递归。在以下代码中,我们初始化一个数组 dp 来存储子问题的解,它起到了与记忆化搜索中数组 mem 相同的记录作用:

[file]{climbing_stairs_dp}-[class]{}-[func]{climbing_stairs_dp}

下图模拟了以上代码的执行过程。

爬楼梯的动态规划过程

与回溯算法一样,动态规划也使用“状态”概念来表示问题求解的特定阶段,每个状态都对应一个子问题以及相应的局部最优解。例如,爬楼梯问题的状态定义为当前所在楼梯阶数 \(i\)

根据以上内容,我们可以总结出动态规划的常用术语。

  • 将数组 dp 称为 dp 表\(dp[i]\) 表示状态 \(i\) 对应子问题的解。
  • 将最小子问题对应的状态(第 \(1\) 阶和第 \(2\) 阶楼梯)称为初始状态
  • 将递推公式 \(dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]\) 称为状态转移方程

空间优化

细心的读者可能发现了,由于 \(dp[i]\) 只与 \(dp[i-1]\)\(dp[i-2]\) 有关,因此我们无须使用一个数组 dp 来存储所有子问题的解,而只需两个变量滚动前进即可。代码如下所示:

[file]{climbing_stairs_dp}-[class]{}-[func]{climbing_stairs_dp_comp}

观察以上代码,由于省去了数组 dp 占用的空间,因此空间复杂度从 \(O(n)\) 降至 \(O(1)\)

在动态规划问题中,当前状态往往仅与前面有限个状态有关,这时我们可以只保留必要的状态,通过“降维”来节省内存空间。这种空间优化技巧被称为“滚动变量”或“滚动数组”