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算法无处不在

当我们听到“算法”这个词时,很自然地会想到数学。然而实际上,许多算法并不涉及复杂数学,而是更多地依赖基本逻辑,这些逻辑在我们的日常生活中处处可见。

在正式探讨算法之前,有一个有趣的事实值得分享:你已经在不知不觉中学会了许多算法,并习惯将它们应用到日常生活中了。下面我将举几个具体的例子来证实这一点。

例一:查字典。在字典里,每个汉字都对应一个拼音,而字典是按照拼音字母顺序排列的。假设我们需要查找一个拼音首字母为 \(r\) 的字,通常会按照下图所示的方式实现。

  1. 翻开字典约一半的页数,查看该页的首字母是什么,假设首字母为 \(m\)
  2. 由于在拼音字母表中 \(r\) 位于 \(m\) 之后,所以排除字典前半部分,查找范围缩小到后半部分。
  3. 不断重复步骤 1. 和步骤 2. ,直至找到拼音首字母为 \(r\) 的页码为止。

查字典步骤

binary_search_dictionary_step2

binary_search_dictionary_step3

binary_search_dictionary_step4

binary_search_dictionary_step5

查字典这个小学生必备技能,实际上就是著名的“二分查找”算法。从数据结构的角度,我们可以把字典视为一个已排序的“数组”;从算法的角度,我们可以将上述查字典的一系列操作看作“二分查找”。

例二:整理扑克。我们在打牌时,每局都需要整理手中的扑克牌,使其从小到大排列,实现流程如下图所示。

  1. 将扑克牌划分为“有序”和“无序”两部分,并假设初始状态下最左 1 张扑克牌已经有序。
  2. 在无序部分抽出一张扑克牌,插入至有序部分的正确位置;完成后最左 2 张扑克已经有序。
  3. 不断循环步骤 2. ,每一轮将一张扑克牌从无序部分插入至有序部分,直至所有扑克牌都有序。

扑克排序步骤

上述整理扑克牌的方法本质上是“插入排序”算法,它在处理小型数据集时非常高效。许多编程语言的排序库函数中都有插入排序的身影。

例三:货币找零。假设我们在超市购买了 \(69\) 元的商品,给了收银员 \(100\) 元,则收银员需要找我们 \(31\) 元。他会很自然地完成如下图所示的思考。

  1. 可选项是比 \(31\) 元面值更小的货币,包括 \(1\) 元、\(5\) 元、\(10\) 元、\(20\) 元。
  2. 从可选项中拿出最大的 \(20\) 元,剩余 \(31 - 20 = 11\) 元。
  3. 从剩余可选项中拿出最大的 \(10\) 元,剩余 \(11 - 10 = 1\) 元。
  4. 从剩余可选项中拿出最大的 \(1\) 元,剩余 \(1 - 1 = 0\) 元。
  5. 完成找零,方案为 \(20 + 10 + 1 = 31\) 元。

货币找零过程

在以上步骤中,我们每一步都采取当前看来最好的选择(尽可能用大面额的货币),最终得到了可行的找零方案。从数据结构与算法的角度看,这种方法本质上是“贪心”算法。

小到烹饪一道菜,大到星际航行,几乎所有问题的解决都离不开算法。计算机的出现使得我们能够通过编程将数据结构存储在内存中,同时编写代码调用 CPU 和 GPU 执行算法。这样一来,我们就能把生活中的问题转移到计算机上,以更高效的方式解决各种复杂问题。

Tip

如果你对数据结构、算法、数组和二分查找等概念仍感到一知半解,请继续往下阅读,本书将引导你迈入数据结构与算法的知识殿堂。