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二分查找

二分查找(binary search)是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性,每轮缩小一半搜索范围,直至找到目标元素或搜索区间为空为止。

Question

给定一个长度为 \(n\) 的数组 nums ,元素按从小到大的顺序排列且不重复。请查找并返回元素 target 在该数组中的索引。若数组不包含该元素,则返回 \(-1\) 。示例如下图所示。

二分查找示例数据

如下图所示,我们先初始化指针 \(i = 0\)\(j = n - 1\) ,分别指向数组首元素和尾元素,代表搜索区间 \([0, n - 1]\) 。请注意,中括号表示闭区间,其包含边界值本身。

接下来,循环执行以下两步。

  1. 计算中点索引 \(m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor\) ,其中 \(\lfloor \: \rfloor\) 表示向下取整操作。
  2. 判断 nums[m]target 的大小关系,分为以下三种情况。
    1. nums[m] < target 时,说明 target 在区间 \([m + 1, j]\) 中,因此执行 \(i = m + 1\)
    2. nums[m] > target 时,说明 target 在区间 \([i, m - 1]\) 中,因此执行 \(j = m - 1\)
    3. nums[m] = target 时,说明找到 target ,因此返回索引 \(m\)

若数组不包含目标元素,搜索区间最终会缩小为空。此时返回 \(-1\)

二分查找流程

binary_search_step2

binary_search_step3

binary_search_step4

binary_search_step5

binary_search_step6

binary_search_step7

值得注意的是,由于 \(i\)\(j\) 都是 int 类型,因此 \(i + j\) 可能会超出 int 类型的取值范围。为了避免大数越界,我们通常采用公式 \(m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor\) 来计算中点。

代码如下所示:

[file]{binary_search}-[class]{}-[func]{binary_search}

时间复杂度为 \(O(\log n)\) :在二分循环中,区间每轮缩小一半,因此循环次数为 \(\log_2 n\)

空间复杂度为 \(O(1)\) :指针 \(i\)\(j\) 使用常数大小空间。

区间表示方法

除了上述双闭区间外,常见的区间表示还有“左闭右开”区间,定义为 \([0, n)\) ,即左边界包含自身,右边界不包含自身。在该表示下,区间 \([i, j)\)\(i = j\) 时为空。

我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法:

[file]{binary_search}-[class]{}-[func]{binary_search_lcro}

如下图所示,在两种区间表示下,二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。

由于“双闭区间”表示中的左右边界都被定义为闭区间,因此通过指针 \(i\) 和指针 \(j\) 缩小区间的操作也是对称的。这样更不容易出错,因此一般建议采用“双闭区间”的写法

两种区间定义

优点与局限性

二分查找在时间和空间方面都有较好的性能。

  • 二分查找的时间效率高。在大数据量下,对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如,当数据大小 \(n = 2^{20}\) 时,线性查找需要 \(2^{20} = 1048576\) 轮循环,而二分查找仅需 \(\log_2 2^{20} = 20\) 轮循环。
  • 二分查找无须额外空间。相较于需要借助额外空间的搜索算法(例如哈希查找),二分查找更加节省空间。

然而,二分查找并非适用于所有情况,主要有以下原因。

  • 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序,为了使用二分查找而专门进行排序,得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 \(O(n \log n)\) ,比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景,为保持数组有序性,需要将元素插入到特定位置,时间复杂度为 \(O(n)\) ,也是非常昂贵的。
  • 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式(非连续地)访问元素,而在链表中执行跳跃式访问的效率较低,因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
  • 小数据量下,线性查找性能更佳。在线性查找中,每轮只需 1 次判断操作;而在二分查找中,需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法(减法),共 4 ~ 6 个单元操作;因此,当数据量 \(n\) 较小时,线性查找反而比二分查找更快。