堆排序

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阅读本节前，请确保已学完“堆“章节。

堆排序（heap sort）是一种基于堆数据结构实现的高效排序算法。我们可以利用已经学过的“建堆操作”和“元素出堆操作”实现堆排序。

1. 输入数组并建立小顶堆，此时最小元素位于堆顶。
2. 不断执行出堆操作，依次记录出堆元素，即可得到从小到大排序的序列。

以上方法虽然可行，但需要借助一个额外数组来保存弹出的元素，比较浪费空间。在实际中，我们通常使用一种更加优雅的实现方式。

算法流程

设数组的长度为 \(n\) ，堆排序的流程如下图所示。

1. 输入数组并建立大顶堆。完成后，最大元素位于堆顶。
2. 将堆顶元素（第一个元素）与堆底元素（最后一个元素）交换。完成交换后，堆的长度减 \(1\) ，已排序元素数量加 \(1\) 。
3. 从堆顶元素开始，从顶到底执行堆化操作（sift down）。完成堆化后，堆的性质得到修复。
4. 循环执行第 2. 步和第 3. 步。循环 \(n - 1\) 轮后，即可完成数组排序。

Tip

实际上，元素出堆操作中也包含第 2. 步和第 3. 步，只是多了一个弹出元素的步骤。

<1><2><3><4><5><6><7><8><9><10><11><12>

在代码实现中，我们使用了与“堆”章节相同的从顶至底堆化 sift_down() 函数。值得注意的是，由于堆的长度会随着提取最大元素而减小，因此我们需要给 sift_down() 函数添加一个长度参数 \(n\) ，用于指定堆的当前有效长度。代码如下所示：

[file]{heap_sort}-[class]{}-[func]{heap_sort}

算法特性

• 时间复杂度为 \(O(n \log n)\)、非自适应排序：建堆操作使用 \(O(n)\) 时间。从堆中提取最大元素的时间复杂度为 \(O(\log n)\) ，共循环 \(n - 1\) 轮。
• 空间复杂度为 \(O(1)\)、原地排序：几个指针变量使用 \(O(1)\) 空间。元素交换和堆化操作都是在原数组上进行的。
• 非稳定排序：在交换堆顶元素和堆底元素时，相等元素的相对位置可能发生变化。