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插入排序

插入排序(insertion sort)是一种简单的排序算法,它的工作原理与手动整理一副牌的过程非常相似。

具体来说,我们在未排序区间选择一个基准元素,将该元素与其左侧已排序区间的元素逐一比较大小,并将该元素插入到正确的位置。

下图展示了数组插入元素的操作流程。设基准元素为 base ,我们需要将从目标索引到 base 之间的所有元素向右移动一位,然后将 base 赋值给目标索引。

单次插入操作

算法流程

插入排序的整体流程如下图所示。

  1. 初始状态下,数组的第 1 个元素已完成排序。
  2. 选取数组的第 2 个元素作为 base ,将其插入到正确位置后,数组的前 2 个元素已排序
  3. 选取第 3 个元素作为 base ,将其插入到正确位置后,数组的前 3 个元素已排序
  4. 以此类推,在最后一轮中,选取最后一个元素作为 base ,将其插入到正确位置后,所有元素均已排序

插入排序流程

示例代码如下:

[file]{insertion_sort}-[class]{}-[func]{insertion_sort}

算法特性

  • 时间复杂度为 \(O(n^2)\)、自适应排序:在最差情况下,每次插入操作分别需要循环 \(n - 1\)\(n-2\)\(\dots\)\(2\)\(1\) 次,求和得到 \((n - 1) n / 2\) ,因此时间复杂度为 \(O(n^2)\) 。在遇到有序数据时,插入操作会提前终止。当输入数组完全有序时,插入排序达到最佳时间复杂度 \(O(n)\)
  • 空间复杂度为 \(O(1)\)、原地排序:指针 \(i\)\(j\) 使用常数大小的额外空间。
  • 稳定排序:在插入操作过程中,我们会将元素插入到相等元素的右侧,不会改变它们的顺序。

插入排序的优势

插入排序的时间复杂度为 \(O(n^2)\) ,而我们即将学习的快速排序的时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。尽管插入排序的时间复杂度更高,但在数据量较小的情况下,插入排序通常更快

这个结论与线性查找和二分查找的适用情况的结论类似。快速排序这类 \(O(n \log n)\) 的算法属于基于分治策略的排序算法,往往包含更多单元计算操作。而在数据量较小时,\(n^2\)\(n \log n\) 的数值比较接近,复杂度不占主导地位,每轮中的单元操作数量起到决定性作用。

实际上,许多编程语言(例如 Java)的内置排序函数采用了插入排序,大致思路为:对于长数组,采用基于分治策略的排序算法,例如快速排序;对于短数组,直接使用插入排序。

虽然冒泡排序、选择排序和插入排序的时间复杂度都为 \(O(n^2)\) ,但在实际情况中,插入排序的使用频率显著高于冒泡排序和选择排序,主要有以下原因。

  • 冒泡排序基于元素交换实现,需要借助一个临时变量,共涉及 3 个单元操作;插入排序基于元素赋值实现,仅需 1 个单元操作。因此,冒泡排序的计算开销通常比插入排序更高
  • 选择排序在任何情况下的时间复杂度都为 \(O(n^2)\)如果给定一组部分有序的数据,插入排序通常比选择排序效率更高
  • 选择排序不稳定,无法应用于多级排序。