基数排序¶

上一节介绍了计数排序，它适用于数据量 \(n\) 较大但数据范围 \(m\) 较小的情况。假设我们需要对 \(n = 10^6\) 个学号进行排序，而学号是一个 \(8\) 位数字，这意味着数据范围 \(m = 10^8\) 非常大，使用计数排序需要分配大量内存空间，而基数排序可以避免这种情况。

基数排序（radix sort）的核心思想与计数排序一致，也通过统计个数来实现排序。在此基础上，基数排序利用数字各位之间的递进关系，依次对每一位进行排序，从而得到最终的排序结果。

算法流程¶

以学号数据为例，假设数字的最低位是第 \(1\) 位，最高位是第 \(8\) 位，基数排序的流程如下图所示。

下面剖析代码实现。对于一个 \(d\) 进制的数字 \(x\) ，要获取其第 \(k\) 位 \(x_k\) ，可以使用以下计算公式：

\[ x_k = \lfloor\frac{x}{d^{k-1}}\rfloor \bmod d \]

其中 \(\lfloor a \rfloor\) 表示对浮点数 \(a\) 向下取整，而 \(\bmod \: d\) 表示对 \(d\) 取模（取余）。对于学号数据，\(d = 10\) 且 \(k \in [1, 8]\) 。

此外，我们需要小幅改动计数排序代码，使之可以根据数字的第 \(k\) 位进行排序：

[file]{radix_sort}-[class]{}-[func]{radix_sort}

为什么从最低位开始排序？

在连续的排序轮次中，后一轮排序会覆盖前一轮排序的结果。举例来说，如果第一轮排序结果 \(a < b\) ，而第二轮排序结果 \(a > b\) ，那么第二轮的结果将取代第一轮的结果。由于数字的高位优先级高于低位，因此应该先排序低位再排序高位。

相较于计数排序，基数排序适用于数值范围较大的情况，但前提是数据必须可以表示为固定位数的格式，且位数不能过大。例如，浮点数不适合使用基数排序，因为其位数 \(k\) 过大，可能导致时间复杂度 \(O(nk) \gg O(n^2)\) 。

时间复杂度为 \(O(nk)\)、非自适应排序：设数据量为 \(n\)、数据为 \(d\) 进制、最大位数为 \(k\) ，则对某一位执行计数排序使用 \(O(n + d)\) 时间，排序所有 \(k\) 位使用 \(O((n + d)k)\) 时间。通常情况下，\(d\) 和 \(k\) 都相对较小，时间复杂度趋向 \(O(n)\) 。
空间复杂度为 \(O(n + d)\)、非原地排序：与计数排序相同，基数排序需要借助长度为 \(n\) 和 \(d\) 的数组 res 和 counter 。
稳定排序：当计数排序稳定时，基数排序也稳定；当计数排序不稳定时，基数排序无法保证得到正确的排序结果。