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基数排序

上一节介绍了计数排序,它适用于数据量 \(n\) 较大但数据范围 \(m\) 较小的情况。假设我们需要对 \(n = 10^6\) 个学号进行排序,而学号是一个 \(8\) 位数字,这意味着数据范围 \(m = 10^8\) 非常大,使用计数排序需要分配大量内存空间,而基数排序可以避免这种情况。

基数排序(radix sort)的核心思想与计数排序一致,也通过统计个数来实现排序。在此基础上,基数排序利用数字各位之间的递进关系,依次对每一位进行排序,从而得到最终的排序结果。

算法流程

以学号数据为例,假设数字的最低位是第 \(1\) 位,最高位是第 \(8\) 位,基数排序的流程如下图所示。

  1. 初始化位数 \(k = 1\)
  2. 对学号的第 \(k\) 位执行“计数排序”。完成后,数据会根据第 \(k\) 位从小到大排序。
  3. \(k\) 增加 \(1\) ,然后返回步骤 2. 继续迭代,直到所有位都排序完成后结束。

基数排序算法流程

下面剖析代码实现。对于一个 \(d\) 进制的数字 \(x\) ,要获取其第 \(k\)\(x_k\) ,可以使用以下计算公式:

\[ x_k = \lfloor\frac{x}{d^{k-1}}\rfloor \bmod d \]

其中 \(\lfloor a \rfloor\) 表示对浮点数 \(a\) 向下取整,而 \(\bmod \: d\) 表示对 \(d\) 取模(取余)。对于学号数据,\(d = 10\)\(k \in [1, 8]\)

此外,我们需要小幅改动计数排序代码,使之可以根据数字的第 \(k\) 位进行排序:

[file]{radix_sort}-[class]{}-[func]{radix_sort}

为什么从最低位开始排序?

在连续的排序轮次中,后一轮排序会覆盖前一轮排序的结果。举例来说,如果第一轮排序结果 \(a < b\) ,而第二轮排序结果 \(a > b\) ,那么第二轮的结果将取代第一轮的结果。由于数字的高位优先级高于低位,因此应该先排序低位再排序高位。

算法特性

相较于计数排序,基数排序适用于数值范围较大的情况,但前提是数据必须可以表示为固定位数的格式,且位数不能过大。例如,浮点数不适合使用基数排序,因为其位数 \(k\) 过大,可能导致时间复杂度 \(O(nk) \gg O(n^2)\)

  • 时间复杂度为 \(O(nk)\)、非自适应排序:设数据量为 \(n\)、数据为 \(d\) 进制、最大位数为 \(k\) ,则对某一位执行计数排序使用 \(O(n + d)\) 时间,排序所有 \(k\) 位使用 \(O((n + d)k)\) 时间。通常情况下,\(d\)\(k\) 都相对较小,时间复杂度趋向 \(O(n)\)
  • 空间复杂度为 \(O(n + d)\)、非原地排序:与计数排序相同,基数排序需要借助长度为 \(n\)\(d\) 的数组 rescounter
  • 稳定排序:当计数排序稳定时,基数排序也稳定;当计数排序不稳定时,基数排序无法保证得到正确的排序结果。