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二叉树遍历

从物理结构的角度来看,树是一种基于链表的数据结构,因此其遍历方式是通过指针逐个访问节点。然而,树是一种非线性数据结构,这使得遍历树比遍历链表更加复杂,需要借助搜索算法来实现。

二叉树常见的遍历方式包括层序遍历、前序遍历、中序遍历和后序遍历等。

层序遍历

如下图所示,层序遍历(level-order traversal)从顶部到底部逐层遍历二叉树,并在每一层按照从左到右的顺序访问节点。

层序遍历本质上属于广度优先遍历(breadth-first traversal),也称广度优先搜索(breadth-first search, BFS),它体现了一种“一圈一圈向外扩展”的逐层遍历方式。

二叉树的层序遍历

代码实现

广度优先遍历通常借助“队列”来实现。队列遵循“先进先出”的规则,而广度优先遍历则遵循“逐层推进”的规则,两者背后的思想是一致的。实现代码如下:

[file]{binary_tree_bfs}-[class]{}-[func]{level_order}

复杂度分析

  • 时间复杂度为 \(O(n)\) :所有节点被访问一次,使用 \(O(n)\) 时间,其中 \(n\) 为节点数量。
  • 空间复杂度为 \(O(n)\) :在最差情况下,即满二叉树时,遍历到最底层之前,队列中最多同时存在 \((n + 1) / 2\) 个节点,占用 \(O(n)\) 空间。

前序、中序、后序遍历

相应地,前序、中序和后序遍历都属于深度优先遍历(depth-first traversal),也称深度优先搜索(depth-first search, DFS),它体现了一种“先走到尽头,再回溯继续”的遍历方式。

下图展示了对二叉树进行深度优先遍历的工作原理。深度优先遍历就像是绕着整棵二叉树的外围“走”一圈,在每个节点都会遇到三个位置,分别对应前序遍历、中序遍历和后序遍历。

二叉搜索树的前序、中序、后序遍历

代码实现

深度优先搜索通常基于递归实现:

[file]{binary_tree_dfs}-[class]{}-[func]{post_order}

Tip

深度优先搜索也可以基于迭代实现,有兴趣的读者可以自行研究。

下图展示了前序遍历二叉树的递归过程,其可分为“递”和“归”两个逆向的部分。

  1. “递”表示开启新方法,程序在此过程中访问下一个节点。
  2. “归”表示函数返回,代表当前节点已经访问完毕。

前序遍历的递归过程

preorder_step2

preorder_step3

preorder_step4

preorder_step5

preorder_step6

preorder_step7

preorder_step8

preorder_step9

preorder_step10

preorder_step11

复杂度分析

  • 时间复杂度为 \(O(n)\) :所有节点被访问一次,使用 \(O(n)\) 时间。
  • 空间复杂度为 \(O(n)\) :在最差情况下,即树退化为链表时,递归深度达到 \(n\) ,系统占用 \(O(n)\) 栈帧空间。