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陣列

陣列（array）是一種線性資料結構，其將相同型別的元素儲存在連續的記憶體空間中。我們將元素在陣列中的位置稱為該元素的索引（index）。下圖展示了陣列的主要概念和儲存方式。

陣列定義與儲存方式

陣列常用操作

初始化陣列

我們可以根據需求選用陣列的兩種初始化方式：無初始值、給定初始值。在未指定初始值的情況下，大多數程式語言會將陣列元素初始化為 \(0\) ：

array.py
# 初始化陣列
arr: list[int] = [0] * 5  # [ 0, 0, 0, 0, 0 ]
nums: list[int] = [1, 3, 2, 5, 4]
array.cpp
/* 初始化陣列 */
// 儲存在堆疊上
int arr[5];
int nums[5] = { 1, 3, 2, 5, 4 };
// 儲存在堆積上（需要手動釋放空間）
int* arr1 = new int[5];
int* nums1 = new int[5] { 1, 3, 2, 5, 4 };
array.java
/* 初始化陣列 */
int[] arr = new int[5]; // { 0, 0, 0, 0, 0 }
int[] nums = { 1, 3, 2, 5, 4 };
array.cs
/* 初始化陣列 */
int[] arr = new int[5]; // [ 0, 0, 0, 0, 0 ]
int[] nums = [1, 3, 2, 5, 4];
array.go
/* 初始化陣列 */
var arr [5]int
// 在 Go 中，指定長度時（[5]int）為陣列，不指定長度時（[]int）為切片
// 由於 Go 的陣列被設計為在編譯期確定長度，因此只能使用常數來指定長度
// 為了方便實現擴容 extend() 方法，以下將切片（Slice）看作陣列（Array）
nums := []int{1, 3, 2, 5, 4}
array.swift
/* 初始化陣列 */
let arr = Array(repeating: 0, count: 5) // [0, 0, 0, 0, 0]
let nums = [1, 3, 2, 5, 4]
array.js
/* 初始化陣列 */
var arr = new Array(5).fill(0);
var nums = [1, 3, 2, 5, 4];
array.ts
/* 初始化陣列 */
let arr: number[] = new Array(5).fill(0);
let nums: number[] = [1, 3, 2, 5, 4];
array.dart
/* 初始化陣列 */
List<int> arr = List.filled(5, 0); // [0, 0, 0, 0, 0]
List<int> nums = [1, 3, 2, 5, 4];
array.rs
/* 初始化陣列 */
let arr: [i32; 5] = [0; 5]; // [0, 0, 0, 0, 0]
let slice: &[i32] = &[0; 5];
// 在 Rust 中，指定長度時（[i32; 5]）為陣列，不指定長度時（&[i32]）為切片
// 由於 Rust 的陣列被設計為在編譯期確定長度，因此只能使用常數來指定長度
// Vector 是 Rust 一般情況下用作動態陣列的型別
// 為了方便實現擴容 extend() 方法，以下將 vector 看作陣列（array）
let nums: Vec<i32> = vec![1, 3, 2, 5, 4];
array.c
/* 初始化陣列 */
int arr[5] = { 0 }; // { 0, 0, 0, 0, 0 }
int nums[5] = { 1, 3, 2, 5, 4 };
array.kt
/* 初始化陣列 */
var arr = IntArray(5) // { 0, 0, 0, 0, 0 }
var nums = intArrayOf(1, 3, 2, 5, 4)
array.rb
# 初始化陣列
arr = Array.new(5, 0)
nums = [1, 3, 2, 5, 4]
array.zig
// 初始化陣列
var arr = [_]i32{0} ** 5; // { 0, 0, 0, 0, 0 }
var nums = [_]i32{ 1, 3, 2, 5, 4 };
視覺化執行

https://pythontutor.com/render.html#code=%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E9%99%A3%E5%88%97%0Aarr%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%205%20%20%23%20%5B%200%2C%200%2C%200%2C%200%2C%200%20%5D%0Anums%20%3D%20%5B1%2C%203%2C%202%2C%205%2C%204%5D&cumulative=false&curInstr=0&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false

訪問元素

陣列元素被儲存在連續的記憶體空間中，這意味著計算陣列元素的記憶體位址非常容易。給定陣列記憶體位址（首元素記憶體位址）和某個元素的索引，我們可以使用下圖所示的公式計算得到該元素的記憶體位址，從而直接訪問該元素。

陣列元素的記憶體位址計算

觀察上圖，我們發現陣列首個元素的索引為 \(0\) ，這似乎有些反直覺，因為從 \(1\) 開始計數會更自然。但從位址計算公式的角度看，索引本質上是記憶體位址的偏移量。首個元素的位址偏移量是 \(0\) ，因此它的索引為 \(0\) 是合理的。

在陣列中訪問元素非常高效，我們可以在 \(O(1)\) 時間內隨機訪問陣列中的任意一個元素。

[file]{array}-[class]{}-[func]{random_access}

插入元素

陣列元素在記憶體中是“緊挨著的”，它們之間沒有空間再存放任何資料。如下圖所示，如果想在陣列中間插入一個元素，則需要將該元素之後的所有元素都向後移動一位，之後再把元素賦值給該索引。

陣列插入元素示例

值得注意的是，由於陣列的長度是固定的，因此插入一個元素必定會導致陣列尾部元素“丟失”。我們將這個問題的解決方案留在“串列”章節中討論。

[file]{array}-[class]{}-[func]{insert}

刪除元素

同理，如下圖所示，若想刪除索引 \(i\) 處的元素，則需要把索引 \(i\) 之後的元素都向前移動一位。

陣列刪除元素示例

請注意，刪除元素完成後，原先末尾的元素變得“無意義”了，所以我們無須特意去修改它。

[file]{array}-[class]{}-[func]{remove}

總的來看，陣列的插入與刪除操作有以下缺點。

  • 時間複雜度高：陣列的插入和刪除的平均時間複雜度均為 \(O(n)\) ，其中 \(n\) 為陣列長度。
  • 丟失元素：由於陣列的長度不可變，因此在插入元素後，超出陣列長度範圍的元素會丟失。
  • 記憶體浪費：我們可以初始化一個比較長的陣列，只用前面一部分，這樣在插入資料時，丟失的末尾元素都是“無意義”的，但這樣做會造成部分記憶體空間浪費。

走訪陣列

在大多數程式語言中，我們既可以透過索引走訪陣列，也可以直接走訪獲取陣列中的每個元素：

[file]{array}-[class]{}-[func]{traverse}

查詢元素

在陣列中查詢指定元素需要走訪陣列，每輪判斷元素值是否匹配，若匹配則輸出對應索引。

因為陣列是線性資料結構，所以上述查詢操作被稱為“線性查詢”。

[file]{array}-[class]{}-[func]{find}

擴容陣列

在複雜的系統環境中，程式難以保證陣列之後的記憶體空間是可用的，從而無法安全地擴展陣列容量。因此在大多數程式語言中，陣列的長度是不可變的。

如果我們希望擴容陣列，則需重新建立一個更大的陣列，然後把原陣列元素依次複製到新陣列。這是一個 \(O(n)\) 的操作，在陣列很大的情況下非常耗時。程式碼如下所示：

[file]{array}-[class]{}-[func]{extend}

陣列的優點與侷限性

陣列儲存在連續的記憶體空間內，且元素型別相同。這種做法包含豐富的先驗資訊，系統可以利用這些資訊來最佳化資料結構的操作效率。

  • 空間效率高：陣列為資料分配了連續的記憶體塊，無須額外的結構開銷。
  • 支持隨機訪問：陣列允許在 \(O(1)\) 時間內訪問任何元素。
  • 快取區域性：當訪問陣列元素時，計算機不僅會載入它，還會快取其周圍的其他資料，從而藉助高速快取來提升後續操作的執行速度。

連續空間儲存是一把雙刃劍，其存在以下侷限性。

  • 插入與刪除效率低：當陣列中元素較多時，插入與刪除操作需要移動大量的元素。
  • 長度不可變：陣列在初始化後長度就固定了，擴容陣列需要將所有資料複製到新陣列，開銷很大。
  • 空間浪費：如果陣列分配的大小超過實際所需，那麼多餘的空間就被浪費了。

陣列典型應用

陣列是一種基礎且常見的資料結構，既頻繁應用在各類演算法之中，也可用於實現各種複雜資料結構。

  • 隨機訪問：如果我們想隨機抽取一些樣本，那麼可以用陣列儲存，並生成一個隨機序列，根據索引實現隨機抽樣。
  • 排序和搜尋：陣列是排序和搜尋演算法最常用的資料結構。快速排序、合併排序、二分搜尋等都主要在陣列上進行。
  • 查詢表：當需要快速查詢一個元素或其對應關係時，可以使用陣列作為查詢表。假如我們想實現字元到 ASCII 碼的對映，則可以將字元的 ASCII 碼值作為索引，對應的元素存放在陣列中的對應位置。
  • 機器學習：神經網路中大量使用了向量、矩陣、張量之間的線性代數運算，這些資料都是以陣列的形式構建的。陣列是神經網路程式設計中最常使用的資料結構。
  • 資料結構實現：陣列可以用於實現堆疊、佇列、雜湊表、堆積、圖等資料結構。例如，圖的鄰接矩陣表示實際上是一個二維陣列。