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鏈結串列

記憶體空間是所有程式的公共資源,在一個複雜的系統執行環境下,空閒的記憶體空間可能散落在記憶體各處。我們知道,儲存陣列的記憶體空間必須是連續的,而當陣列非常大時,記憶體可能無法提供如此大的連續空間。此時鏈結串列的靈活性優勢就體現出來了。

鏈結串列(linked list)是一種線性資料結構,其中的每個元素都是一個節點物件,各個節點透過“引用”相連線。引用記錄了下一個節點的記憶體位址,透過它可以從當前節點訪問到下一個節點。

鏈結串列的設計使得各個節點可以分散儲存在記憶體各處,它們的記憶體位址無須連續。

鏈結串列定義與儲存方式

觀察上圖,鏈結串列的組成單位是節點(node)物件。每個節點都包含兩項資料:節點的“值”和指向下一節點的“引用”。

  • 鏈結串列的首個節點被稱為“頭節點”,最後一個節點被稱為“尾節點”。
  • 尾節點指向的是“空”,它在 Java、C++ 和 Python 中分別被記為 nullnullptrNone
  • 在 C、C++、Go 和 Rust 等支持指標的語言中,上述“引用”應被替換為“指標”。

如以下程式碼所示,鏈結串列節點 ListNode 除了包含值,還需額外儲存一個引用(指標)。因此在相同資料量下,鏈結串列比陣列佔用更多的記憶體空間

class ListNode:
    """鏈結串列節點類別"""
    def __init__(self, val: int):
        self.val: int = val               # 節點值
        self.next: ListNode | None = None # 指向下一節點的引用
/* 鏈結串列節點結構體 */
struct ListNode {
    int val;         // 節點值
    ListNode *next;  // 指向下一節點的指標
    ListNode(int x) : val(x), next(nullptr) {}  // 建構子
};
/* 鏈結串列節點類別 */
class ListNode {
    int val;        // 節點值
    ListNode next;  // 指向下一節點的引用
    ListNode(int x) { val = x; }  // 建構子
}
/* 鏈結串列節點類別 */
class ListNode(int x) {  //建構子
    int val = x;         // 節點值
    ListNode? next;      // 指向下一節點的引用
}
/* 鏈結串列節點結構體 */
type ListNode struct {
    Val  int       // 節點值
    Next *ListNode // 指向下一節點的指標
}

// NewListNode 建構子,建立一個新的鏈結串列
func NewListNode(val int) *ListNode {
    return &ListNode{
        Val:  val,
        Next: nil,
    }
}
/* 鏈結串列節點類別 */
class ListNode {
    var val: Int // 節點值
    var next: ListNode? // 指向下一節點的引用

    init(x: Int) { // 建構子
        val = x
    }
}
/* 鏈結串列節點類別 */
class ListNode {
    constructor(val, next) {
        this.val = (val === undefined ? 0 : val);       // 節點值
        this.next = (next === undefined ? null : next); // 指向下一節點的引用
    }
}
/* 鏈結串列節點類別 */
class ListNode {
    val: number;
    next: ListNode | null;
    constructor(val?: number, next?: ListNode | null) {
        this.val = val === undefined ? 0 : val;        // 節點值
        this.next = next === undefined ? null : next;  // 指向下一節點的引用
    }
}
/* 鏈結串列節點類別 */
class ListNode {
  int val; // 節點值
  ListNode? next; // 指向下一節點的引用
  ListNode(this.val, [this.next]); // 建構子
}
use std::rc::Rc;
use std::cell::RefCell;
/* 鏈結串列節點類別 */
#[derive(Debug)]
struct ListNode {
    val: i32, // 節點值
    next: Option<Rc<RefCell<ListNode>>>, // 指向下一節點的指標
}
/* 鏈結串列節點結構體 */
typedef struct ListNode {
    int val;               // 節點值
    struct ListNode *next; // 指向下一節點的指標
} ListNode;

/* 建構子 */
ListNode *newListNode(int val) {
    ListNode *node;
    node = (ListNode *) malloc(sizeof(ListNode));
    node->val = val;
    node->next = NULL;
    return node;
}
/* 鏈結串列節點類別 */
// 建構子
class ListNode(x: Int) {
    val _val: Int = x          // 節點值
    val next: ListNode? = null // 指向下一個節點的引用
}
# 鏈結串列節點類別
class ListNode
  attr_accessor :val  # 節點值
  attr_accessor :next # 指向下一節點的引用

  def initialize(val=0, next_node=nil)
    @val = val
    @next = next_node
  end
end
// 鏈結串列節點類別
pub fn ListNode(comptime T: type) type {
    return struct {
        const Self = @This();

        val: T = 0, // 節點值
        next: ?*Self = null, // 指向下一節點的指標

        // 建構子
        pub fn init(self: *Self, x: i32) void {
            self.val = x;
            self.next = null;
        }
    };
}

鏈結串列常用操作

初始化鏈結串列

建立鏈結串列分為兩步,第一步是初始化各個節點物件,第二步是構建節點之間的引用關係。初始化完成後,我們就可以從鏈結串列的頭節點出發,透過引用指向 next 依次訪問所有節點。

linked_list.py
# 初始化鏈結串列 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4
# 初始化各個節點
n0 = ListNode(1)
n1 = ListNode(3)
n2 = ListNode(2)
n3 = ListNode(5)
n4 = ListNode(4)
# 構建節點之間的引用
n0.next = n1
n1.next = n2
n2.next = n3
n3.next = n4
linked_list.cpp
/* 初始化鏈結串列 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */
// 初始化各個節點
ListNode* n0 = new ListNode(1);
ListNode* n1 = new ListNode(3);
ListNode* n2 = new ListNode(2);
ListNode* n3 = new ListNode(5);
ListNode* n4 = new ListNode(4);
// 構建節點之間的引用
n0->next = n1;
n1->next = n2;
n2->next = n3;
n3->next = n4;
linked_list.java
/* 初始化鏈結串列 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */
// 初始化各個節點
ListNode n0 = new ListNode(1);
ListNode n1 = new ListNode(3);
ListNode n2 = new ListNode(2);
ListNode n3 = new ListNode(5);
ListNode n4 = new ListNode(4);
// 構建節點之間的引用
n0.next = n1;
n1.next = n2;
n2.next = n3;
n3.next = n4;
linked_list.cs
/* 初始化鏈結串列 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */
// 初始化各個節點
ListNode n0 = new(1);
ListNode n1 = new(3);
ListNode n2 = new(2);
ListNode n3 = new(5);
ListNode n4 = new(4);
// 構建節點之間的引用
n0.next = n1;
n1.next = n2;
n2.next = n3;
n3.next = n4;
linked_list.go
/* 初始化鏈結串列 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */
// 初始化各個節點
n0 := NewListNode(1)
n1 := NewListNode(3)
n2 := NewListNode(2)
n3 := NewListNode(5)
n4 := NewListNode(4)
// 構建節點之間的引用
n0.Next = n1
n1.Next = n2
n2.Next = n3
n3.Next = n4
linked_list.swift
/* 初始化鏈結串列 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */
// 初始化各個節點
let n0 = ListNode(x: 1)
let n1 = ListNode(x: 3)
let n2 = ListNode(x: 2)
let n3 = ListNode(x: 5)
let n4 = ListNode(x: 4)
// 構建節點之間的引用
n0.next = n1
n1.next = n2
n2.next = n3
n3.next = n4
linked_list.js
/* 初始化鏈結串列 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */
// 初始化各個節點
const n0 = new ListNode(1);
const n1 = new ListNode(3);
const n2 = new ListNode(2);
const n3 = new ListNode(5);
const n4 = new ListNode(4);
// 構建節點之間的引用
n0.next = n1;
n1.next = n2;
n2.next = n3;
n3.next = n4;
linked_list.ts
/* 初始化鏈結串列 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */
// 初始化各個節點
const n0 = new ListNode(1);
const n1 = new ListNode(3);
const n2 = new ListNode(2);
const n3 = new ListNode(5);
const n4 = new ListNode(4);
// 構建節點之間的引用
n0.next = n1;
n1.next = n2;
n2.next = n3;
n3.next = n4;
linked_list.dart
/* 初始化鏈結串列 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */\
// 初始化各個節點
ListNode n0 = ListNode(1);
ListNode n1 = ListNode(3);
ListNode n2 = ListNode(2);
ListNode n3 = ListNode(5);
ListNode n4 = ListNode(4);
// 構建節點之間的引用
n0.next = n1;
n1.next = n2;
n2.next = n3;
n3.next = n4;
linked_list.rs
/* 初始化鏈結串列 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */
// 初始化各個節點
let n0 = Rc::new(RefCell::new(ListNode { val: 1, next: None }));
let n1 = Rc::new(RefCell::new(ListNode { val: 3, next: None }));
let n2 = Rc::new(RefCell::new(ListNode { val: 2, next: None }));
let n3 = Rc::new(RefCell::new(ListNode { val: 5, next: None }));
let n4 = Rc::new(RefCell::new(ListNode { val: 4, next: None }));

// 構建節點之間的引用
n0.borrow_mut().next = Some(n1.clone());
n1.borrow_mut().next = Some(n2.clone());
n2.borrow_mut().next = Some(n3.clone());
n3.borrow_mut().next = Some(n4.clone());
linked_list.c
/* 初始化鏈結串列 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */
// 初始化各個節點
ListNode* n0 = newListNode(1);
ListNode* n1 = newListNode(3);
ListNode* n2 = newListNode(2);
ListNode* n3 = newListNode(5);
ListNode* n4 = newListNode(4);
// 構建節點之間的引用
n0->next = n1;
n1->next = n2;
n2->next = n3;
n3->next = n4;
linked_list.kt
/* 初始化鏈結串列 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */
// 初始化各個節點
val n0 = ListNode(1)
val n1 = ListNode(3)
val n2 = ListNode(2)
val n3 = ListNode(5)
val n4 = ListNode(4)
// 構建節點之間的引用
n0.next = n1;
n1.next = n2;
n2.next = n3;
n3.next = n4;
linked_list.rb
# 初始化鏈結串列 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4
# 初始化各個節點
n0 = ListNode.new(1)
n1 = ListNode.new(3)
n2 = ListNode.new(2)
n3 = ListNode.new(5)
n4 = ListNode.new(4)
# 構建節點之間的引用
n0.next = n1
n1.next = n2
n2.next = n3
n3.next = n4
linked_list.zig
// 初始化鏈結串列
// 初始化各個節點
var n0 = inc.ListNode(i32){.val = 1};
var n1 = inc.ListNode(i32){.val = 3};
var n2 = inc.ListNode(i32){.val = 2};
var n3 = inc.ListNode(i32){.val = 5};
var n4 = inc.ListNode(i32){.val = 4};
// 構建節點之間的引用
n0.next = &n1;
n1.next = &n2;
n2.next = &n3;
n3.next = &n4;
視覺化執行

https://pythontutor.com/render.html#code=class%20ListNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%8F%88%E7%B5%90%E4%B8%B2%E5%88%97%E7%AF%80%E9%BB%9E%E9%A1%9E%E5%88%A5%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%23%20%E7%AF%80%E9%BB%9E%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.next%3A%20ListNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%BE%8C%E7%B9%BC%E7%AF%80%E9%BB%9E%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E9%8F%88%E7%B5%90%E4%B8%B2%E5%88%97%201%20-%3E%203%20-%3E%202%20-%3E%205%20-%3E%204%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%90%84%E5%80%8B%E7%AF%80%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20n0%20%3D%20ListNode%281%29%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20ListNode%283%29%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20ListNode%282%29%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20ListNode%285%29%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20ListNode%284%29%0A%20%20%20%20%23%20%E6%A7%8B%E5%BB%BA%E7%AF%80%E9%BB%9E%E4%B9%8B%E9%96%93%E7%9A%84%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%20%20%20%20n0.next%20%3D%20n1%0A%20%20%20%20n1.next%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n2.next%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n3.next%20%3D%20n4&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false

陣列整體是一個變數,比如陣列 nums 包含元素 nums[0]nums[1] 等,而鏈結串列是由多個獨立的節點物件組成的。我們通常將頭節點當作鏈結串列的代稱,比如以上程式碼中的鏈結串列可記作鏈結串列 n0

插入節點

在鏈結串列中插入節點非常容易。如下圖所示,假設我們想在相鄰的兩個節點 n0n1 之間插入一個新節點 P則只需改變兩個節點引用(指標)即可,時間複雜度為 \(O(1)\)

相比之下,在陣列中插入元素的時間複雜度為 \(O(n)\) ,在大資料量下的效率較低。

鏈結串列插入節點示例

[file]{linked_list}-[class]{}-[func]{insert}

刪除節點

如下圖所示,在鏈結串列中刪除節點也非常方便,只需改變一個節點的引用(指標)即可

請注意,儘管在刪除操作完成後節點 P 仍然指向 n1 ,但實際上走訪此鏈結串列已經無法訪問到 P ,這意味著 P 已經不再屬於該鏈結串列了。

鏈結串列刪除節點

[file]{linked_list}-[class]{}-[func]{remove}

訪問節點

在鏈結串列中訪問節點的效率較低。如上一節所述,我們可以在 \(O(1)\) 時間下訪問陣列中的任意元素。鏈結串列則不然,程式需要從頭節點出發,逐個向後走訪,直至找到目標節點。也就是說,訪問鏈結串列的第 \(i\) 個節點需要迴圈 \(i - 1\) 輪,時間複雜度為 \(O(n)\)

[file]{linked_list}-[class]{}-[func]{access}

查詢節點

走訪鏈結串列,查詢其中值為 target 的節點,輸出該節點在鏈結串列中的索引。此過程也屬於線性查詢。程式碼如下所示:

[file]{linked_list}-[class]{}-[func]{find}

陣列 vs. 鏈結串列

下表總結了陣列和鏈結串列的各項特點並對比了操作效率。由於它們採用兩種相反的儲存策略,因此各種性質和操作效率也呈現對立的特點。

  陣列與鏈結串列的效率對比

陣列 鏈結串列
儲存方式 連續記憶體空間 分散記憶體空間
容量擴展 長度不可變 可靈活擴展
記憶體效率 元素佔用記憶體少、但可能浪費空間 元素佔用記憶體多
訪問元素 \(O(1)\) \(O(n)\)
新增元素 \(O(n)\) \(O(1)\)
刪除元素 \(O(n)\) \(O(1)\)

常見鏈結串列型別

如下圖所示,常見的鏈結串列型別包括三種。

  • 單向鏈結串列:即前面介紹的普通鏈結串列。單向鏈結串列的節點包含值和指向下一節點的引用兩項資料。我們將首個節點稱為頭節點,將最後一個節點稱為尾節點,尾節點指向空 None
  • 環形鏈結串列:如果我們令單向鏈結串列的尾節點指向頭節點(首尾相接),則得到一個環形鏈結串列。在環形鏈結串列中,任意節點都可以視作頭節點。
  • 雙向鏈結串列:與單向鏈結串列相比,雙向鏈結串列記錄了兩個方向的引用。雙向鏈結串列的節點定義同時包含指向後繼節點(下一個節點)和前驅節點(上一個節點)的引用(指標)。相較於單向鏈結串列,雙向鏈結串列更具靈活性,可以朝兩個方向走訪鏈結串列,但相應地也需要佔用更多的記憶體空間。
class ListNode:
    """雙向鏈結串列節點類別"""
    def __init__(self, val: int):
        self.val: int = val                # 節點值
        self.next: ListNode | None = None  # 指向後繼節點的引用
        self.prev: ListNode | None = None  # 指向前驅節點的引用
/* 雙向鏈結串列節點結構體 */
struct ListNode {
    int val;         // 節點值
    ListNode *next;  // 指向後繼節點的指標
    ListNode *prev;  // 指向前驅節點的指標
    ListNode(int x) : val(x), next(nullptr), prev(nullptr) {}  // 建構子
};
/* 雙向鏈結串列節點類別 */
class ListNode {
    int val;        // 節點值
    ListNode next;  // 指向後繼節點的引用
    ListNode prev;  // 指向前驅節點的引用
    ListNode(int x) { val = x; }  // 建構子
}
/* 雙向鏈結串列節點類別 */
class ListNode(int x) {  // 建構子
    int val = x;    // 節點值
    ListNode next;  // 指向後繼節點的引用
    ListNode prev;  // 指向前驅節點的引用
}
/* 雙向鏈結串列節點結構體 */
type DoublyListNode struct {
    Val  int             // 節點值
    Next *DoublyListNode // 指向後繼節點的指標
    Prev *DoublyListNode // 指向前驅節點的指標
}

// NewDoublyListNode 初始化
func NewDoublyListNode(val int) *DoublyListNode {
    return &DoublyListNode{
        Val:  val,
        Next: nil,
        Prev: nil,
    }
}
/* 雙向鏈結串列節點類別 */
class ListNode {
    var val: Int // 節點值
    var next: ListNode? // 指向後繼節點的引用
    var prev: ListNode? // 指向前驅節點的引用

    init(x: Int) { // 建構子
        val = x
    }
}
/* 雙向鏈結串列節點類別 */
class ListNode {
    constructor(val, next, prev) {
        this.val = val  ===  undefined ? 0 : val;        // 節點值
        this.next = next  ===  undefined ? null : next;  // 指向後繼節點的引用
        this.prev = prev  ===  undefined ? null : prev;  // 指向前驅節點的引用
    }
}
/* 雙向鏈結串列節點類別 */
class ListNode {
    val: number;
    next: ListNode | null;
    prev: ListNode | null;
    constructor(val?: number, next?: ListNode | null, prev?: ListNode | null) {
        this.val = val  ===  undefined ? 0 : val;        // 節點值
        this.next = next  ===  undefined ? null : next;  // 指向後繼節點的引用
        this.prev = prev  ===  undefined ? null : prev;  // 指向前驅節點的引用
    }
}
/* 雙向鏈結串列節點類別 */
class ListNode {
    int val;        // 節點值
    ListNode next;  // 指向後繼節點的引用
    ListNode prev;  // 指向前驅節點的引用
    ListNode(this.val, [this.next, this.prev]);  // 建構子
}
use std::rc::Rc;
use std::cell::RefCell;

/* 雙向鏈結串列節點型別 */
#[derive(Debug)]
struct ListNode {
    val: i32, // 節點值
    next: Option<Rc<RefCell<ListNode>>>, // 指向後繼節點的指標
    prev: Option<Rc<RefCell<ListNode>>>, // 指向前驅節點的指標
}

/* 建構子 */
impl ListNode {
    fn new(val: i32) -> Self {
        ListNode {
            val,
            next: None,
            prev: None,
        }
    }
}
/* 雙向鏈結串列節點結構體 */
typedef struct ListNode {
    int val;               // 節點值
    struct ListNode *next; // 指向後繼節點的指標
    struct ListNode *prev; // 指向前驅節點的指標
} ListNode;

/* 建構子 */
ListNode *newListNode(int val) {
    ListNode *node;
    node = (ListNode *) malloc(sizeof(ListNode));
    node->val = val;
    node->next = NULL;
    node->prev = NULL;
    return node;
}
/* 雙向鏈結串列節點類別 */
// 建構子
class ListNode(x: Int) {
    val _val: Int = x           // 節點值
    val next: ListNode? = null  // 指向後繼節點的引用
    val prev: ListNode? = null  // 指向前驅節點的引用
}
# 雙向鏈結串列節點類別
class ListNode
  attr_accessor :val    # 節點值
  attr_accessor :next   # 指向後繼節點的引用
  attr_accessor :prev   # 指向前驅節點的引用

  def initialize(val=0, next_node=nil, prev_node=nil)
    @val = val
    @next = next_node
    @prev = prev_node
  end
end
// 雙向鏈結串列節點類別
pub fn ListNode(comptime T: type) type {
    return struct {
        const Self = @This();

        val: T = 0, // 節點值
        next: ?*Self = null, // 指向後繼節點的指標
        prev: ?*Self = null, // 指向前驅節點的指標

        // 建構子
        pub fn init(self: *Self, x: i32) void {
            self.val = x;
            self.next = null;
            self.prev = null;
        }
    };
}

常見鏈結串列種類

鏈結串列典型應用

單向鏈結串列通常用於實現堆疊、佇列、雜湊表和圖等資料結構。

  • 堆疊與佇列:當插入和刪除操作都在鏈結串列的一端進行時,它表現的特性為先進後出,對應堆疊;當插入操作在鏈結串列的一端進行,刪除操作在鏈結串列的另一端進行,它表現的特性為先進先出,對應佇列。
  • 雜湊表:鏈式位址是解決雜湊衝突的主流方案之一,在該方案中,所有衝突的元素都會被放到一個鏈結串列中。
  • :鄰接表是表示圖的一種常用方式,其中圖的每個頂點都與一個鏈結串列相關聯,鏈結串列中的每個元素都代表與該頂點相連的其他頂點。

雙向鏈結串列常用於需要快速查詢前一個和後一個元素的場景。

  • 高階資料結構:比如在紅黑樹、B 樹中,我們需要訪問節點的父節點,這可以透過在節點中儲存一個指向父節點的引用來實現,類似於雙向鏈結串列。
  • 瀏覽器歷史:在網頁瀏覽器中,當用戶點選前進或後退按鈕時,瀏覽器需要知道使用者訪問過的前一個和後一個網頁。雙向鏈結串列的特性使得這種操作變得簡單。
  • LRU 演算法:在快取淘汰(LRU)演算法中,我們需要快速找到最近最少使用的資料,以及支持快速新增和刪除節點。這時候使用雙向鏈結串列就非常合適。

環形鏈結串列常用於需要週期性操作的場景,比如作業系統的資源排程。

  • 時間片輪轉排程演算法:在作業系統中,時間片輪轉排程演算法是一種常見的 CPU 排程演算法,它需要對一組程序進行迴圈。每個程序被賦予一個時間片,當時間片用完時,CPU 將切換到下一個程序。這種迴圈操作可以透過環形鏈結串列來實現。
  • 資料緩衝區:在某些資料緩衝區的實現中,也可能會使用環形鏈結串列。比如在音訊、影片播放器中,資料流可能會被分成多個緩衝塊並放入一個環形鏈結串列,以便實現無縫播放。