分治搜尋策略¶
我們已經學過，搜尋演算法分為兩大類。
- 暴力搜尋：它透過走訪資料結構實現，時間複雜度為 \(O(n)\) 。
- 自適應搜尋：它利用特有的資料組織形式或先驗資訊，時間複雜度可達到 \(O(\log n)\) 甚至 \(O(1)\) 。
實際上，時間複雜度為 \(O(\log n)\) 的搜尋演算法通常是基於分治策略實現的，例如二分搜尋和樹。
- 二分搜尋的每一步都將問題（在陣列中搜索目標元素）分解為一個小問題（在陣列的一半中搜索目標元素），這個過程一直持續到陣列為空或找到目標元素為止。
- 樹是分治思想的代表，在二元搜尋樹、AVL 樹、堆積等資料結構中，各種操作的時間複雜度皆為 \(O(\log n)\) 。
二分搜尋的分治策略如下所示。
- 問題可以分解：二分搜尋遞迴地將原問題（在陣列中進行查詢）分解為子問題（在陣列的一半中進行查詢），這是透過比較中間元素和目標元素來實現的。
- 子問題是獨立的：在二分搜尋中，每輪只處理一個子問題，它不受其他子問題的影響。
- 子問題的解無須合併：二分搜尋旨在查詢一個特定元素，因此不需要將子問題的解進行合併。當子問題得到解決時，原問題也會同時得到解決。
分治能夠提升搜尋效率，本質上是因為暴力搜尋每輪只能排除一個選項，而分治搜尋每輪可以排除一半選項。
基於分治實現二分搜尋¶
在之前的章節中，二分搜尋是基於遞推（迭代）實現的。現在我們基於分治（遞迴）來實現它。
Question
給定一個長度為 \(n\) 的有序陣列 nums ，其中所有元素都是唯一的，請查詢元素 target 。
從分治角度，我們將搜尋區間 \([i, j]\) 對應的子問題記為 \(f(i, j)\) 。
以原問題 \(f(0, n-1)\) 為起始點，透過以下步驟進行二分搜尋。
- 計算搜尋區間 \([i, j]\) 的中點 \(m\) ，根據它排除一半搜尋區間。
- 遞迴求解規模減小一半的子問題，可能為 \(f(i, m-1)\) 或 \(f(m+1, j)\) 。
- 迴圈第
1.步和第2.步，直至找到target或區間為空時返回。
下圖展示了在陣列中二分搜尋元素 \(6\) 的分治過程。
在實現程式碼中，我們宣告一個遞迴函式 dfs() 來求解問題 \(f(i, j)\) ：