構建二元樹問題

Question

給定一棵二元樹的前序走訪 preorder 和中序走訪 inorder ，請從中構建二元樹，返回二元樹的根節點。假設二元樹中沒有值重複的節點（如下圖所示）。

判斷是否為分治問題

原問題定義為從 preorder 和 inorder 構建二元樹，是一個典型的分治問題。

• 問題可以分解：從分治的角度切入，我們可以將原問題劃分為兩個子問題：構建左子樹、構建右子樹，加上一步操作：初始化根節點。而對於每棵子樹（子問題），我們仍然可以複用以上劃分方法，將其劃分為更小的子樹（子問題），直至達到最小子問題（空子樹）時終止。
• 子問題是獨立的：左子樹和右子樹是相互獨立的，它們之間沒有交集。在構建左子樹時，我們只需關注中序走訪和前序走訪中與左子樹對應的部分。右子樹同理。
• 子問題的解可以合併：一旦得到了左子樹和右子樹（子問題的解），我們就可以將它們連結到根節點上，得到原問題的解。

如何劃分子樹

根據以上分析，這道題可以使用分治來求解，但如何透過前序走訪 preorder 和中序走訪 inorder 來劃分左子樹和右子樹呢？

根據定義，preorder 和 inorder 都可以劃分為三個部分。

• 前序走訪：[ 根節點 | 左子樹 | 右子樹 ] ，例如上圖的樹對應 [ 3 | 9 | 2 1 7 ] 。
• 中序走訪：[ 左子樹 | 根節點 ｜ 右子樹 ] ，例如上圖的樹對應 [ 9 | 3 | 1 2 7 ] 。

以上圖資料為例，我們可以透過下圖所示的步驟得到劃分結果。

1. 前序走訪的首元素 3 是根節點的值。
2. 查詢根節點 3 在 inorder 中的索引，利用該索引可將 inorder 劃分為 [ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ] 。
3. 根據 inorder 的劃分結果，易得左子樹和右子樹的節點數量分別為 1 和 3 ，從而可將 preorder 劃分為 [ 3 | 9 | 2 1 7 ] 。

基於變數描述子樹區間

根據以上劃分方法，我們已經得到根節點、左子樹、右子樹在 preorder 和 inorder 中的索引區間。而為了描述這些索引區間，我們需要藉助幾個指標變數。

• 將當前樹的根節點在 preorder 中的索引記為 \(i\) 。
• 將當前樹的根節點在 inorder 中的索引記為 \(m\) 。
• 將當前樹在 inorder 中的索引區間記為 \([l, r]\) 。

如下表所示，透過以上變數即可表示根節點在 preorder 中的索引，以及子樹在 inorder 中的索引區間。

表   根節點和子樹在前序走訪和中序走訪中的索引

	根節點在 preorder 中的索引	子樹在 inorder 中的索引區間
當前樹	\(i\)	\([l, r]\)
左子樹	\(i + 1\)	\([l, m-1]\)
右子樹	\(i + 1 + (m - l)\)	\([m+1, r]\)

請注意，右子樹根節點索引中的 \((m-l)\) 的含義是“左子樹的節點數量”，建議結合下圖理解。

程式碼實現

為了提升查詢 \(m\) 的效率，我們藉助一個雜湊表 hmap 來儲存陣列 inorder 中元素到索引的對映：

[file]{build_tree}-[class]{}-[func]{build_tree}

下圖展示了構建二元樹的遞迴過程，各個節點是在向下“遞”的過程中建立的，而各條邊（引用）是在向上“迴”的過程中建立的。

<1><2><3><4><5><6><7><8><9>

每個遞迴函式內的前序走訪 preorder 和中序走訪 inorder 的劃分結果如下圖所示。

設樹的節點數量為 \(n\) ，初始化每一個節點（執行一個遞迴函式 dfs() ）使用 \(O(1)\) 時間。因此總體時間複雜度為 \(O(n)\) 。

雜湊表儲存 inorder 元素到索引的對映，空間複雜度為 \(O(n)\) 。在最差情況下，即二元樹退化為鏈結串列時，遞迴深度達到 \(n\) ，使用 \(O(n)\) 的堆疊幀空間。因此總體空間複雜度為 \(O(n)\) 。