河內塔問題¶

在合併排序和構建二元樹中，我們都是將原問題分解為兩個規模為原問題一半的子問題。然而對於河內塔問題，我們採用不同的分解策略。

Question

給定三根柱子，記為 A、B 和 C 。起始狀態下，柱子 A 上套著 \(n\) 個圓盤，它們從上到下按照從小到大的順序排列。我們的任務是要把這 \(n\) 個圓盤移到柱子 C 上，並保持它們的原有順序不變（如下圖所示）。在移動圓盤的過程中，需要遵守以下規則。

我們將規模為 \(i\) 的河內塔問題記作 \(f(i)\) 。例如 \(f(3)\) 代表將 \(3\) 個圓盤從 A 移動至 C 的河內塔問題。

如下圖所示，對於問題 \(f(1)\) ，即當只有一個圓盤時，我們將它直接從 A 移動至 C 即可。

<1><2>

如下圖所示，對於問題 \(f(2)\) ，即當有兩個圓盤時，由於要時刻滿足小圓盤在大圓盤之上，因此需要藉助 B 來完成移動。

<1><2><3><4>

解決問題 \(f(2)\) 的過程可總結為：將兩個圓盤藉助 B 從 A 移至 C 。其中，C 稱為目標柱、B 稱為緩衝柱。

對於問題 \(f(3)\) ，即當有三個圓盤時，情況變得稍微複雜了一些。

因為已知 \(f(1)\) 和 \(f(2)\) 的解，所以我們可從分治角度思考，將 A 頂部的兩個圓盤看作一個整體，執行下圖所示的步驟。這樣三個圓盤就被順利地從 A 移至 C 了。

<1><2><3><4>

從本質上看，我們將問題 \(f(3)\) 劃分為兩個子問題 \(f(2)\) 和一個子問題 \(f(1)\) 。按順序解決這三個子問題之後，原問題隨之得到解決。這說明子問題是獨立的，而且解可以合併。

至此，我們可總結出下圖所示的解決河內塔問題的分治策略：將原問題 \(f(n)\) 劃分為兩個子問題 \(f(n-1)\) 和一個子問題 \(f(1)\) ，並按照以下順序解決這三個子問題。

對於這兩個子問題 \(f(n-1)\) ，可以透過相同的方式進行遞迴劃分，直至達到最小子問題 \(f(1)\) 。而 \(f(1)\) 的解是已知的，只需一次移動操作即可。

在程式碼中，我們宣告一個遞迴函式 dfs(i, src, buf, tar) ，它的作用是將柱 src 頂部的 \(i\) 個圓盤藉助緩衝柱 buf 移動至目標柱 tar ：

[file]{hanota}-[class]{}-[func]{solve_hanota}

如下圖所示，河內塔問題形成一棵高度為 \(n\) 的遞迴樹，每個節點代表一個子問題，對應一個開啟的 dfs() 函式，因此時間複雜度為 \(O(2^n)\) ，空間複雜度為 \(O(n)\) 。

Quote

河內塔問題源自一個古老的傳說。在古印度的一個寺廟裡，僧侶們有三根高大的鑽石柱子，以及 \(64\) 個大小不一的金圓盤。僧侶們不斷地移動圓盤，他們相信在最後一個圓盤被正確放置的那一刻，這個世界就會結束。

然而，即使僧侶們每秒鐘移動一次，總共需要大約 \(2^{64} \approx 1.84×10^{19}\) 秒，合約 \(5850\) 億年，遠遠超過了現在對宇宙年齡的估計。所以，倘若這個傳說是真的，我們應該不需要擔心世界末日的到來。