圖¶
圖（graph）是一種非線性資料結構，由頂點（vertex）和邊（edge）組成。我們可以將圖 \(G\) 抽象地表示為一組頂點 \(V\) 和一組邊 \(E\) 的集合。以下示例展示了一個包含 5 個頂點和 7 條邊的圖。
如果將頂點看作節點，將邊看作連線各個節點的引用（指標），我們就可以將圖看作一種從鏈結串列拓展而來的資料結構。如下圖所示，相較於線性關係（鏈結串列）和分治關係（樹），網路關係（圖）的自由度更高，因而更為複雜。
圖的常見型別與術語¶
根據邊是否具有方向，可分為無向圖（undirected graph）和有向圖（directed graph），如下圖所示。
- 在無向圖中，邊表示兩頂點之間的“雙向”連線關係，例如微信或 QQ 中的“好友關係”。
- 在有向圖中，邊具有方向性，即 \(A \rightarrow B\) 和 \(A \leftarrow B\) 兩個方向的邊是相互獨立的，例如微博或抖音上的“關注”與“被關注”關係。
根據所有頂點是否連通，可分為連通圖（connected graph）和非連通圖（disconnected graph），如下圖所示。
- 對於連通圖，從某個頂點出發，可以到達其餘任意頂點。
- 對於非連通圖，從某個頂點出發，至少有一個頂點無法到達。
我們還可以為邊新增“權重”變數，從而得到如下圖所示的有權圖（weighted graph）。例如在《王者榮耀》等手遊中，系統會根據共同遊戲時間來計算玩家之間的“親密度”，這種親密度網路就可以用有權圖來表示。
圖資料結構包含以下常用術語。
- 鄰接（adjacency）：當兩頂點之間存在邊相連時，稱這兩頂點“鄰接”。在上圖中，頂點 1 的鄰接頂點為頂點 2、3、5。
- 路徑（path）：從頂點 A 到頂點 B 經過的邊構成的序列被稱為從 A 到 B 的“路徑”。在上圖中，邊序列 1-5-2-4 是頂點 1 到頂點 4 的一條路徑。
- 度（degree）：一個頂點擁有的邊數。對於有向圖，入度（in-degree）表示有多少條邊指向該頂點，出度（out-degree）表示有多少條邊從該頂點指出。
圖的表示¶
圖的常用表示方式包括“鄰接矩陣”和“鄰接表”。以下使用無向圖進行舉例。
鄰接矩陣¶
設圖的頂點數量為 \(n\) ，鄰接矩陣（adjacency matrix）使用一個 \(n \times n\) 大小的矩陣來表示圖，每一行（列）代表一個頂點，矩陣元素代表邊，用 \(1\) 或 \(0\) 表示兩個頂點之間是否存在邊。
如下圖所示，設鄰接矩陣為 \(M\)、頂點串列為 \(V\) ，那麼矩陣元素 \(M[i, j] = 1\) 表示頂點 \(V[i]\) 到頂點 \(V[j]\) 之間存在邊，反之 \(M[i, j] = 0\) 表示兩頂點之間無邊。
鄰接矩陣具有以下特性。
- 頂點不能與自身相連，因此鄰接矩陣主對角線元素沒有意義。
- 對於無向圖，兩個方向的邊等價，此時鄰接矩陣關於主對角線對稱。
- 將鄰接矩陣的元素從 \(1\) 和 \(0\) 替換為權重，則可表示有權圖。
使用鄰接矩陣表示圖時，我們可以直接訪問矩陣元素以獲取邊，因此增刪查改操作的效率很高，時間複雜度均為 \(O(1)\) 。然而，矩陣的空間複雜度為 \(O(n^2)\) ，記憶體佔用較多。
鄰接表¶
鄰接表（adjacency list）使用 \(n\) 個鏈結串列來表示圖，鏈結串列節點表示頂點。第 \(i\) 個鏈結串列對應頂點 \(i\) ，其中儲存了該頂點的所有鄰接頂點（與該頂點相連的頂點）。下圖展示了一個使用鄰接表儲存的圖的示例。
鄰接表僅儲存實際存在的邊，而邊的總數通常遠小於 \(n^2\) ，因此它更加節省空間。然而，在鄰接表中需要透過走訪鏈結串列來查詢邊，因此其時間效率不如鄰接矩陣。
觀察上圖，鄰接表結構與雜湊表中的“鏈式位址”非常相似，因此我們也可以採用類似的方法來最佳化效率。比如當鏈結串列較長時，可以將鏈結串列轉化為 AVL 樹或紅黑樹，從而將時間效率從 \(O(n)\) 最佳化至 \(O(\log n)\) ；還可以把鏈結串列轉換為雜湊表，從而將時間複雜度降至 \(O(1)\) 。
圖的常見應用¶
如下表所示，許多現實系統可以用圖來建模，相應的問題也可以約化為圖計算問題。
表
| 頂點 | 邊 | 圖計算問題 | |
|---|---|---|---|
| 社交網路 | 使用者 | 好友關係 | 潛在好友推薦 |
| 地鐵線路 | 站點 | 站點間的連通性 | 最短路線推薦 |
| 太陽系 | 星體 | 星體間的萬有引力作用 | 行星軌道計算 |