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最大切分乘積問題

Question

給定一個正整數 \(n\) ，將其切分為至少兩個正整數的和，求切分後所有整數的乘積最大是多少，如下圖所示。

最大切分乘積的問題定義

假設我們將 \(n\) 切分為 \(m\) 個整數因子，其中第 \(i\) 個因子記為 \(n_i\) ，即

\[ n = \sum_{i=1}^{m}n_i \]

本題的目標是求得所有整數因子的最大乘積，即

\[ \max(\prod_{i=1}^{m}n_i) \]

我們需要思考的是：切分數量 \(m\) 應該多大，每個 \(n_i\) 應該是多少？

貪婪策略確定

根據經驗，兩個整數的乘積往往比它們的加和更大。假設從 \(n\) 中分出一個因子 \(2\) ，則它們的乘積為 \(2(n-2)\) 。我們將該乘積與 \(n\) 作比較：

\[ \begin{aligned} 2(n-2) & \geq n \newline 2n - n - 4 & \geq 0 \newline n & \geq 4 \end{aligned} \]

如下圖所示，當 \(n \geq 4\) 時，切分出一個 \(2\) 後乘積會變大，這說明大於等於 \(4\) 的整數都應該被切分。

貪婪策略一：如果切分方案中包含 \(\geq 4\) 的因子，那麼它就應該被繼續切分。最終的切分方案只應出現 \(1\)、\(2\)、\(3\) 這三種因子。

切分導致乘積變大

接下來思考哪個因子是最優的。在 \(1\)、\(2\)、\(3\) 這三個因子中，顯然 \(1\) 是最差的，因為 \(1 \times (n-1) < n\) 恆成立，即切分出 \(1\) 反而會導致乘積減小。

如下圖所示，當 \(n = 6\) 時，有 \(3 \times 3 > 2 \times 2 \times 2\) 。這意味著切分出 \(3\) 比切分出 \(2\) 更優。

貪婪策略二：在切分方案中，最多隻應存在兩個 \(2\) 。因為三個 \(2\) 總是可以替換為兩個 \(3\) ，從而獲得更大的乘積。

最優切分因子

綜上所述，可推理出以下貪婪策略。

  1. 輸入整數 \(n\) ，從其不斷地切分出因子 \(3\) ，直至餘數為 \(0\)、\(1\)、\(2\) 。
  2. 當餘數為 \(0\) 時，代表 \(n\) 是 \(3\) 的倍數，因此不做任何處理。
  3. 當餘數為 \(2\) 時，不繼續劃分，保留。
  4. 當餘數為 \(1\) 時，由於 \(2 \times 2 > 1 \times 3\) ，因此應將最後一個 \(3\) 替換為 \(2\) 。

程式碼實現

如下圖所示，我們無須透過迴圈來切分整數，而可以利用向下整除運算得到 \(3\) 的個數 \(a\) ，用取模運算得到餘數 \(b\) ，此時有：

\[ n = 3 a + b \]

請注意，對於 \(n \leq 3\) 的邊界情況，必須拆分出一個 \(1\) ，乘積為 \(1 \times (n - 1)\) 。

[file]{max_product_cutting}-[class]{}-[func]{max_product_cutting}

最大切分乘積的計算方法

時間複雜度取決於程式語言的冪運算的實現方法。以 Python 為例，常用的冪計算函式有三種。

  • 運算子 ** 和函式 pow() 的時間複雜度均為 \(O(\log⁡ a)\) 。
  • 函式 math.pow() 內部呼叫 C 語言庫的 pow() 函式，其執行浮點取冪，時間複雜度為 \(O(1)\) 。

變數 \(a\) 和 \(b\) 使用常數大小的額外空間，因此空間複雜度為 \(O(1)\) 。

正確性證明

使用反證法，只分析 \(n \geq 3\) 的情況。

  1. 所有因子 \(\leq 3\) ：假設最優切分方案中存在 \(\geq 4\) 的因子 \(x\) ，那麼一定可以將其繼續劃分為 \(2(x-2)\) ，從而獲得更大的乘積。這與假設矛盾。
  2. 切分方案不包含 \(1\) ：假設最優切分方案中存在一個因子 \(1\) ，那麼它一定可以合併入另外一個因子中，以獲得更大的乘積。這與假設矛盾。
  3. 切分方案最多包含兩個 \(2\) ：假設最優切分方案中包含三個 \(2\) ，那麼一定可以替換為兩個 \(3\) ，乘積更大。這與假設矛盾。