二分搜尋¶
二分搜尋(binary search)是一種基於分治策略的高效搜尋演算法。它利用資料的有序性,每輪縮小一半搜尋範圍,直至找到目標元素或搜尋區間為空為止。
Question
給定一個長度為 \(n\) 的陣列 nums
,元素按從小到大的順序排列且不重複。請查詢並返回元素 target
在該陣列中的索引。若陣列不包含該元素,則返回 \(-1\) 。示例如下圖所示。
如下圖所示,我們先初始化指標 \(i = 0\) 和 \(j = n - 1\) ,分別指向陣列首元素和尾元素,代表搜尋區間 \([0, n - 1]\) 。請注意,中括號表示閉區間,其包含邊界值本身。
接下來,迴圈執行以下兩步。
- 計算中點索引 \(m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor\) ,其中 \(\lfloor \: \rfloor\) 表示向下取整操作。
- 判斷
nums[m]
和target
的大小關係,分為以下三種情況。- 當
nums[m] < target
時,說明target
在區間 \([m + 1, j]\) 中,因此執行 \(i = m + 1\) 。 - 當
nums[m] > target
時,說明target
在區間 \([i, m - 1]\) 中,因此執行 \(j = m - 1\) 。 - 當
nums[m] = target
時,說明找到target
,因此返回索引 \(m\) 。
- 當
若陣列不包含目標元素,搜尋區間最終會縮小為空。此時返回 \(-1\) 。
值得注意的是,由於 \(i\) 和 \(j\) 都是 int
型別,因此 \(i + j\) 可能會超出 int
型別的取值範圍。為了避免大數越界,我們通常採用公式 \(m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor\) 來計算中點。
程式碼如下所示:
時間複雜度為 \(O(\log n)\) :在二分迴圈中,區間每輪縮小一半,因此迴圈次數為 \(\log_2 n\) 。
空間複雜度為 \(O(1)\) :指標 \(i\) 和 \(j\) 使用常數大小空間。
區間表示方法¶
除了上述雙閉區間外,常見的區間表示還有“左閉右開”區間,定義為 \([0, n)\) ,即左邊界包含自身,右邊界不包含自身。在該表示下,區間 \([i, j)\) 在 \(i = j\) 時為空。
我們可以基於該表示實現具有相同功能的二分搜尋演算法:
如下圖所示,在兩種區間表示下,二分搜尋演算法的初始化、迴圈條件和縮小區間操作皆有所不同。
由於“雙閉區間”表示中的左右邊界都被定義為閉區間,因此透過指標 \(i\) 和指標 \(j\) 縮小區間的操作也是對稱的。這樣更不容易出錯,因此一般建議採用“雙閉區間”的寫法。
優點與侷限性¶
二分搜尋在時間和空間方面都有較好的效能。
- 二分搜尋的時間效率高。在大資料量下,對數階的時間複雜度具有顯著優勢。例如,當資料大小 \(n = 2^{20}\) 時,線性查詢需要 \(2^{20} = 1048576\) 輪迴圈,而二分搜尋僅需 \(\log_2 2^{20} = 20\) 輪迴圈。
- 二分搜尋無須額外空間。相較於需要藉助額外空間的搜尋演算法(例如雜湊查詢),二分搜尋更加節省空間。
然而,二分搜尋並非適用於所有情況,主要有以下原因。
- 二分搜尋僅適用於有序資料。若輸入資料無序,為了使用二分搜尋而專門進行排序,得不償失。因為排序演算法的時間複雜度通常為 \(O(n \log n)\) ,比線性查詢和二分搜尋都更高。對於頻繁插入元素的場景,為保持陣列有序性,需要將元素插入到特定位置,時間複雜度為 \(O(n)\) ,也是非常昂貴的。
- 二分搜尋僅適用於陣列。二分搜尋需要跳躍式(非連續地)訪問元素,而在鏈結串列中執行跳躍式訪問的效率較低,因此不適合應用在鏈結串列或基於鏈結串列實現的資料結構。
- 小資料量下,線性查詢效能更佳。線上性查詢中,每輪只需 1 次判斷操作;而在二分搜尋中,需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判斷操作、1 次加法(減法),共 4 ~ 6 個單元操作;因此,當資料量 \(n\) 較小時,線性查詢反而比二分搜尋更快。