二分搜尋邊界

查詢左邊界

Question

給定一個長度為 \(n\) 的有序陣列 nums ，其中可能包含重複元素。請返回陣列中最左一個元素 target 的索引。若陣列中不包含該元素，則返回 \(-1\) 。

回憶二分搜尋插入點的方法，搜尋完成後 \(i\) 指向最左一個 target ，因此查詢插入點本質上是在查詢最左一個 target 的索引。

考慮透過查詢插入點的函式實現查詢左邊界。請注意，陣列中可能不包含 target ，這種情況可能導致以下兩種結果。

• 插入點的索引 \(i\) 越界。
• 元素 nums[i] 與 target 不相等。

當遇到以上兩種情況時，直接返回 \(-1\) 即可。程式碼如下所示：

[file]{binary_search_edge}-[class]{}-[func]{binary_search_left_edge}

查詢右邊界

那麼如何查詢最右一個 target 呢？最直接的方式是修改程式碼，替換在 nums[m] == target 情況下的指標收縮操作。程式碼在此省略，有興趣的讀者可以自行實現。

下面我們介紹兩種更加取巧的方法。

複用查詢左邊界

實際上，我們可以利用查詢最左元素的函式來查詢最右元素，具體方法為：將查詢最右一個 target 轉化為查詢最左一個 target + 1。

如下圖所示，查詢完成後，指標 \(i\) 指向最左一個 target + 1（如果存在），而 \(j\) 指向最右一個 target ，因此返回 \(j\) 即可。

請注意，返回的插入點是 \(i\) ，因此需要將其減 \(1\) ，從而獲得 \(j\) ：

[file]{binary_search_edge}-[class]{}-[func]{binary_search_right_edge}

轉化為查詢元素

我們知道，當陣列不包含 target 時，最終 \(i\) 和 \(j\) 會分別指向首個大於、小於 target 的元素。

因此，如下圖所示，我們可以構造一個陣列中不存在的元素，用於查詢左右邊界。

• 查詢最左一個 target ：可以轉化為查詢 target - 0.5 ，並返回指標 \(i\) 。
• 查詢最右一個 target ：可以轉化為查詢 target + 0.5 ，並返回指標 \(j\) 。

程式碼在此省略，以下兩點值得注意。

• 給定陣列不包含小數，這意味著我們無須關心如何處理相等的情況。
• 因為該方法引入了小數，所以需要將函式中的變數 target 改為浮點數型別（Python 無須改動）。